已知 $f(x)=\ln(ax+b)+x^2(a \ne 0)$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
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若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=x$，求 $a,b$ 的值；标注答案$f'(x)=\dfrac a{ax+b}+2x$．依题意，有$$\begin{cases}f'(1)=\dfrac a{a+b}+2=1,\\f(1)=\ln(a+b)+1=1.\end{cases}$$解得 $a=-1,b=2$．解析无
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若 $f(x)\leqslant x^2+x$ 恒成立，求 $ab$ 的最大值．标注答案设 $g(x)=f(x)-(x^2+x)$，则\[g(x)=\ln(ax+b)-x,\]$g(x)\leqslant 0$ 恒成立．
① $a<0$ 时，$g(x)$ 的定义域为 $\left(- \infty,-\dfrac b a\right)$，取 $x_0$ 使得\[\ln(ax_0+b)=-\dfrac b a+1,\]得\[x_0=\dfrac{{\rm e}^{-\frac b a+1}-b}a<-\dfrac b a.\]则\[\begin{split}g(x_0)&=\ln(ax_0+b)-x_0>\ln(ax_0+b)-\left(-\dfrac b a\right)\\&=\left(-\dfrac b a+1\right)+\dfrac b a\\&=1>0,\end{split}\]与 $g(x)\leqslant 0$ 矛盾．
故 $a<0$ 时，$g(x)\leqslant 0$ 不恒成立，即 $a<0$ 不符合要求．
② $a>0$ 时，\[g'(x)=\dfrac a{ax+b}-1=\dfrac{-a\left(x-\dfrac{a-b}a\right)}{ax+b}\left(x>-\dfrac b a\right).\]当 $-\dfrac b a<x<\dfrac{a-b}a$ 时，$g'(x)>0$；当 $x>\dfrac{a-b}a$ 时，$g'(x)<0$．
所以 $g(x)$ 在区间 $\left(-\dfrac b a,\dfrac{a-b}a\right)$ 上为增函数，在区间 $\left(\dfrac{a-b}a,+\infty\right)$ 上为减函数．因此 $g(x)$ 在其定义域 $\left(-\dfrac b a,+\infty\right)$ 上有最大值，最大值为 $g\left(\dfrac{a-b}a\right)$．
由 $g(x)\leqslant 0$ 恒成立，得\[g\left(\dfrac{a-b}a\right)=\ln a-\dfrac{a-b}a\leqslant 0.\]所以 $b\leqslant a-a \ln a$．所以 $ab\leqslant a^2-a^2\ln a$．
设 $h(a)=a^2-a^2 \ln a$，则\[h'(a)=2a-(2a \ln a+a)=a(1-2\ln a).\]所以 $0<a<\sqrt{\rm e}$ 时，$h'(a)>0;a>\sqrt{\rm e}$ 时，$h'(a)<0$．
因此 $h(a)$ 在区间 $(0,\sqrt{\rm e})$ 上为增函数，在区间 $(\sqrt{\rm e},+\infty)$ 上为减函数．故 $h(a)$ 的最大值为\[h\left(\sqrt{\rm e}\right)={\rm e}-\dfrac{\rm e}2=\dfrac{\rm e}2.\]所以当 $a=\sqrt{\rm e},b=\dfrac {\sqrt{\rm e}}2$ 时，$ab$ 取最大值为 $\dfrac{\rm e}2$．
综合 ①、② 得，$ab$ 的最大值为 $\dfrac{\rm e}2$．解析无
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
