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已知 $f(x)=\sin \omega x-\cos \omega x$，其中 $\omega >\dfrac 14$，$x\in\mathbb R$，若 $f(x)$ 的任何一条对称轴与 $x$ 轴交点的横坐标都不属于区间 $(2\pi ,3\pi)$，则 $\omega$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[\dfrac 38,\dfrac{11}{12}\right]\cup\left[\dfrac{11}8,\dfrac{19}{12}\right]$
B: $\left(\dfrac 14,\dfrac{5}{12}\right]\cup\left[\dfrac{5}8,\dfrac{3}{4}\right]$
C: $\left[\dfrac 38,\dfrac{7}{12}\right]\cup\left[\dfrac{7}8,\dfrac{11}{12}\right]$
D: $\left(\dfrac 14,\dfrac{3}{4}\right]\cup\left[\dfrac{9}8,\dfrac{17}{12}\right]$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的对称性
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    不等式(组)的规划
【答案】
C
【解析】
根据题意，有\[f(x)=\sqrt 2\sin \left(\omega x-\dfrac{\pi}4\right),\]接下来考虑问题的反面，也即\[\exists k\in\mathbb Z,2\omega\pi-\dfrac{\pi}4<k\pi+\dfrac{\pi}2<3\omega\pi-\dfrac{\pi}4,\]也即\[\exists k\in \mathbb Z,\dfrac 13k +\dfrac 14<\omega <\dfrac 12k+\dfrac 38.\]如图．因此所求 $\omega$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 38,\dfrac{7}{12}\right]\cup\left[\dfrac{7}8,\dfrac{11}{12}\right]$．
其他解法 可以结合图象，从图象伸缩角度得到取值范围．示意图如下：
题目 答案 解析 备注
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