如图，$\odot O$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆，$DA$ 是 $\odot O$ 的切线，且 $\angle DBA=\angle ABC$，$E$ 是直线 $DB$ 与 $\odot O$ 的另一交点．点 $F$ 在 $\odot O$ 上，且 $BF \parallel EC$，$G$ 是 $CF$ 的延长线与切线 $DA$ 的交点．求证：$AG=AD$．%---------13
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABD$ 中，由 $DA$ 是 $\odot O$ 的切线知，$\angle BAD=\angle BCA$．又 $\angle DBA=\angle ABC$．
所以 $\angle ADB=\angle CAB$．因为 $A,B,E,C$ 四点共圆，所以$$\angle CAB+\angle CEB=180^\circ.$$所以$$\angle ADE+\angle DEC=180^\circ.$$因此 $EC \parallel DA$．又 $BF \parallel EC$，所以$$EC \parallel BF \parallel DG.$$由 $EC,BF$ 是 $\odot O$ 的两条平行弦知 $CF=EB$．所以 $GC=DE,GF=DB$．又$$GA^2=GF\cdot GC, DA^2=DB\cdot DE.$$所以 $GA^2=DA^2$，则 $AG=AD$，命题得证．
所以 $\angle ADB=\angle CAB$．因为 $A,B,E,C$ 四点共圆，所以$$\angle CAB+\angle CEB=180^\circ.$$所以$$\angle ADE+\angle DEC=180^\circ.$$因此 $EC \parallel DA$．又 $BF \parallel EC$，所以$$EC \parallel BF \parallel DG.$$由 $EC,BF$ 是 $\odot O$ 的两条平行弦知 $CF=EB$．所以 $GC=DE,GF=DB$．又$$GA^2=GF\cdot GC, DA^2=DB\cdot DE.$$所以 $GA^2=DA^2$，则 $AG=AD$，命题得证．
【解析】
无
答案
解析
备注
