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过双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1$（$a>0$）的左焦点作直线 $l$ 与双曲线交于 $A,B$ 两点，使得 $|AB|=4$，若这样的直线有且仅有 $2$ 条，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(0,\dfrac 12\right)$
B: $(2,+\infty)$
C: $\left(\dfrac 12,2\right)$
D: $\left(0,\dfrac 12\right)\cup \left(2,+\infty\right)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的通径
【答案】
D
【解析】
双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 的实轴长为 $2a$，通径长为 $\dfrac 2a$．根据题意，有\[\left(\dfrac 2a<4<2a\right)\lor \left(2a<4<\dfrac 2a\right),\]即\[a>2\lor a<\dfrac 12,\]因此 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right)\cup\left(2,+\infty\right)$．
题目 答案 解析 备注
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