设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则其前 $n$ 项和\[S_n=\dfrac d2\cdot n^2+\alpha\cdot n,n\in\mathbb N^{\ast},\]若 $\left\{S_n\right\}$ 为等差数列，设其通项为\[\sqrt{S_n}=d\cdot n+\beta,n\in\mathbb N^{\ast},\]则有\[\forall n\in \mathbb N^{\ast},\dfrac d2\cdot n^2+\alpha\cdot n=\left(d\cdot n+\beta\right)^2,\]从而\[\begin{cases} \dfrac d2=d^2,\\ \alpha=2d\beta,\\ 0=\beta^2,\end{cases}\]解得 $\alpha=0$，$\beta=0$，$d=\dfrac 12$．进而\[S_n=\dfrac 14n^2,\]从而\[S_{100}=2500.\]