如图，$\triangle ABC$ 为锐角三角形，外接圆圆心为 $O$，半径为 $R$，$AO$ 的延长线交 $\triangle BOC$ 的外接圆于点 $A'$，$BO$ 的延长线交 $\triangle AOC$ 的外接圆于点 $B'$，$CO$ 的延长线交 $\triangle AOB$ 的外接圆于点 $C'$，求证：$OA' \cdot OB' \cdot OC' \geqslant 8R^3$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $AA'$ 与 $BC$、$BB'$ 与 $CA$、$CC'$ 与 $AB$ 的交点依次为 $D$、$E$、$F$，$\triangle AOB$、$\triangle BOC$、$\triangle COA$ 的面积依次为 $S_1$、$S_2$、$S_3$，由 $B$、$O$、$C$、$A'$ 四点共圆知，$\angle OBC = \angle OCB = \angle BA'O$，从而有 $\triangle OBD \backsim \triangle OA'B$，且 $OA' = \dfrac{OB^2}{OD}=\dfrac{R^2}{OD}$．
同理 $OB' = \dfrac {R^2}{OE}, OC' = \dfrac {R^2}{OF}$．
因为\[S_1=\dfrac 1 2 OA \cdot OB \cdot \sin \angle AOB,\]\[S_2=\dfrac 1 2 OB \cdot OC \cdot \sin \angle COB,\]\[S_3=\dfrac 1 2 OA \cdot OC \cdot \sin \angle AOC,\]且 $\angle BOC=2 {\rm \pi} -(\angle AOB + \angle AOC)$，所以 $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{S_1 +S_3}{S_2}$．
同理可得：\[\dfrac{OB}{OE}=\dfrac{S_1+S_2}{S_3}, \dfrac{OC}{OF} =\dfrac{S_2+S_3}{S_1}.\]因此，\[\begin{split}\dfrac{O'A \cdot O'B \cdot O'C}{R^3}&=\dfrac {R^3}{OD \cdot OE \cdot OF}=\dfrac{OA}{OD} \cdot \dfrac{OB}{OE} \cdot \dfrac{OC}{OF}\\&=\dfrac{S_1+S_3}{S_2}\cdot \dfrac{S_1+S_2}{S_3}\cdot \dfrac{S_2+S_3}{S_1}\\&=\left(\dfrac{S_1}{S_2}+\dfrac{S_3}{S_2}\right)\left(\dfrac{S_1}{S_3}+\dfrac{S_2}{S_3}\right)\left(\dfrac{S_2}{S_1}+\dfrac{S_3}{S_1}\right)\\&=\left(\dfrac{S_1}{S_2}+\dfrac{S_2}{S_1}\right)+\left(\dfrac{S_2}{S_3}+\dfrac{S_3}{S_2}\right)+\left(\dfrac{S_1}{S_3}+\dfrac{S_3}{S_1}\right)+2 \geqslant 8,\end{split}\]当且仅当 $S_1 = S_2 = S_3$ 时等号成立，此时 $\triangle ABC$ 为正三角形．故 $OA' \cdot OB' \cdot OC' \geqslant 8R^3$，当且仅当 $\triangle ABC$ 为正三角形时等号成立．
同理 $OB' = \dfrac {R^2}{OE}, OC' = \dfrac {R^2}{OF}$．
因为\[S_1=\dfrac 1 2 OA \cdot OB \cdot \sin \angle AOB,\]\[S_2=\dfrac 1 2 OB \cdot OC \cdot \sin \angle COB,\]\[S_3=\dfrac 1 2 OA \cdot OC \cdot \sin \angle AOC,\]且 $\angle BOC=2 {\rm \pi} -(\angle AOB + \angle AOC)$，所以 $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{S_1 +S_3}{S_2}$．
同理可得：\[\dfrac{OB}{OE}=\dfrac{S_1+S_2}{S_3}, \dfrac{OC}{OF} =\dfrac{S_2+S_3}{S_1}.\]因此，\[\begin{split}\dfrac{O'A \cdot O'B \cdot O'C}{R^3}&=\dfrac {R^3}{OD \cdot OE \cdot OF}=\dfrac{OA}{OD} \cdot \dfrac{OB}{OE} \cdot \dfrac{OC}{OF}\\&=\dfrac{S_1+S_3}{S_2}\cdot \dfrac{S_1+S_2}{S_3}\cdot \dfrac{S_2+S_3}{S_1}\\&=\left(\dfrac{S_1}{S_2}+\dfrac{S_3}{S_2}\right)\left(\dfrac{S_1}{S_3}+\dfrac{S_2}{S_3}\right)\left(\dfrac{S_2}{S_1}+\dfrac{S_3}{S_1}\right)\\&=\left(\dfrac{S_1}{S_2}+\dfrac{S_2}{S_1}\right)+\left(\dfrac{S_2}{S_3}+\dfrac{S_3}{S_2}\right)+\left(\dfrac{S_1}{S_3}+\dfrac{S_3}{S_1}\right)+2 \geqslant 8,\end{split}\]当且仅当 $S_1 = S_2 = S_3$ 时等号成立，此时 $\triangle ABC$ 为正三角形．故 $OA' \cdot OB' \cdot OC' \geqslant 8R^3$，当且仅当 $\triangle ABC$ 为正三角形时等号成立．
答案
解析
备注
