在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆的方程为 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，$A_{1},A_{2}$ 分别为椭圆的左、右顶点，$F_{1}$、$F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，$P$ 为椭圆上不同于 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 的任意一点．若平面中两个点 $Q$、$R$ 满足 $QA_{1}\perp PA_{1}$，$QA_{2}\perp PA_{2}$，$RF_{1}\perp PF_{1}$，$RF_{2}\perp PF_{2}$，试确定线段 $QR$ 的长度与 $b$ 的大小关系，并给出证明．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$|QR|\geqslant b$，证明略
【解析】
令 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$，则 $A_{1}(-a,0)$，$A_{2}(a,0)$，$F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$．
设 $P(x_{0},y_{0})$，$Q(x_{1},y_{1})$，$\mathbb R(x_{2},y_{2})$，其中 $\dfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1$，$y_{0}\ne 0$．
由 $QA_{1}\perp PA_{1}$，$QA_{2}\perp PA_{2}$ 可知\[\begin{split}&\overrightarrow{A_{1}Q}\cdot \overrightarrow{A_{1}P}=(x_{1}+a)(x_{0}+a)+y_{1}y_{0}=0\cdots\cdots\text{ ① }\\ &\overrightarrow{A_{2}Q}\cdot \overrightarrow{A_{2}P}=(x_{1}-a)(x_{0}-a)+y_{1}y_{0}=0\cdots\cdots\text{ ② }\end{split}\]将 ①、② 相减，得 $2a(x_{1}+x_{0})=0$，即 $x_{1}=-x_{0}$，将其代入 ①，得 $-x_{0}^{2}+a^{2}+y_{1}y_{0}=0$，故 $y_{1}=\dfrac{x_{0}^{2}-a^{2}}{y_{0}}$，于是 $Q\left(-x_{0},\dfrac{x_{0}^{2}-a^{2}}{y_{0}}\right)$．
根据 $RF_{1}\perp PF_{1}$，$RF_{2}\perp PF_{2}$，同理可得 $R\left(-x_{0},\dfrac{x_{0}^{2}-c^{2}}{y_{0}}\right)$．因此\[|QR|=\left|\dfrac{x_{0}^{2}-a^{2}}{y_{0}}-\dfrac{x_{0}^{2}-c^{2}}{y_{0}}\right|=\dfrac{b^{2}}{|y_{0}|},\]由于 $|y_{0}|\in(0,b)$，故 $|QR|\geqslant b$（其中等号成立的充分必要条件是 $|y_{0}|=b$，即点 $P$ 为 $(0,\pm b)$）．
设 $P(x_{0},y_{0})$，$Q(x_{1},y_{1})$，$\mathbb R(x_{2},y_{2})$，其中 $\dfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1$，$y_{0}\ne 0$．
由 $QA_{1}\perp PA_{1}$，$QA_{2}\perp PA_{2}$ 可知\[\begin{split}&\overrightarrow{A_{1}Q}\cdot \overrightarrow{A_{1}P}=(x_{1}+a)(x_{0}+a)+y_{1}y_{0}=0\cdots\cdots\text{ ① }\\ &\overrightarrow{A_{2}Q}\cdot \overrightarrow{A_{2}P}=(x_{1}-a)(x_{0}-a)+y_{1}y_{0}=0\cdots\cdots\text{ ② }\end{split}\]将 ①、② 相减，得 $2a(x_{1}+x_{0})=0$，即 $x_{1}=-x_{0}$，将其代入 ①，得 $-x_{0}^{2}+a^{2}+y_{1}y_{0}=0$，故 $y_{1}=\dfrac{x_{0}^{2}-a^{2}}{y_{0}}$，于是 $Q\left(-x_{0},\dfrac{x_{0}^{2}-a^{2}}{y_{0}}\right)$．
根据 $RF_{1}\perp PF_{1}$，$RF_{2}\perp PF_{2}$，同理可得 $R\left(-x_{0},\dfrac{x_{0}^{2}-c^{2}}{y_{0}}\right)$．因此\[|QR|=\left|\dfrac{x_{0}^{2}-a^{2}}{y_{0}}-\dfrac{x_{0}^{2}-c^{2}}{y_{0}}\right|=\dfrac{b^{2}}{|y_{0}|},\]由于 $|y_{0}|\in(0,b)$，故 $|QR|\geqslant b$（其中等号成立的充分必要条件是 $|y_{0}|=b$，即点 $P$ 为 $(0,\pm b)$）．
答案
解析
备注
