已知二次函数 $y=2x^2+4x+m-1$，与 $x$ 轴的公共点为 $A,B$．若设抛物线在点 $A,B$ 之间的部分与线段 $AB$ 所围成的区域内（包括边界）整点的个数为 $n$，当 $1<n<8$ 时，结合函数的图象，求 $m$ 的取值范围．（横、纵坐标都是整数的点叫做整点）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$m$ 的取值范围为 $0<m\leqslant 2$
【解析】
因为二次函数 $y=2x^2+4x+m-1=2(x+1)^2+m-3$，
令二次函数图象的顶点为 $P$，则点 $P(-1,m-3)$．
① 当点 $P$ 位于点 $P_1(-1,-1)$ 时，有 $m-3=-1$，即 $m=2$．
此时二次函数解析式为 $y=2x^2+4x+1$，
从而得到抛物线与 $x$ 轴的交点为 $A_1\left(-1-\dfrac{\sqrt 2}{2},0\right),B_1\left(-1+\dfrac{\sqrt 2}{2},0\right)$，
如图所示，此时 $n=2$；
② 当点 $P$ 位于点 $P_2(-1,-3)$ 时，有 $m-3=-3$，即 $m=0$．
此时二次函数解析式为 $y=2x^2+4x-1$，
从而得到抛物线与 $x$ 轴的交点为 $A_2\left(-1-\dfrac{\sqrt 6}{2},0\right),B_2\left(-1+\dfrac{\sqrt 6}{2},0\right)$，
如图所示，此时 $n=8$．
综上所述，结合函数的图象，当 $1<n<8$ 时，$0<m\leqslant 2$．
令二次函数图象的顶点为 $P$，则点 $P(-1,m-3)$．
① 当点 $P$ 位于点 $P_1(-1,-1)$ 时，有 $m-3=-1$，即 $m=2$．
此时二次函数解析式为 $y=2x^2+4x+1$，
从而得到抛物线与 $x$ 轴的交点为 $A_1\left(-1-\dfrac{\sqrt 2}{2},0\right),B_1\left(-1+\dfrac{\sqrt 2}{2},0\right)$，
如图所示，此时 $n=2$；
② 当点 $P$ 位于点 $P_2(-1,-3)$ 时，有 $m-3=-3$，即 $m=0$．
此时二次函数解析式为 $y=2x^2+4x-1$，
从而得到抛物线与 $x$ 轴的交点为 $A_2\left(-1-\dfrac{\sqrt 6}{2},0\right),B_2\left(-1+\dfrac{\sqrt 6}{2},0\right)$，
如图所示，此时 $n=8$．
综上所述，结合函数的图象，当 $1<n<8$ 时，$0<m\leqslant 2$．
答案
解析
备注
