如图，已知二次函数 $y=-x^2+bx+c$（$b,c$ 为常数）的图象经过点 $A\left(3,1\right)$，点 $C\left(0,4\right)$，顶点为点 $M$，过点 $A$ 作 $AB\parallel x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $D$，交该二次函数图象于点 $B$，连接 $BC$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若将该二次函数图象向下平移 $m\left(m>0\right)$ 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 $\triangle ABC$ 的内部（不包括 $\triangle ABC$ 的边界），求 $m$ 的取值范围；标注答案$m$ 的取值范围为 $2<m<4$解析把点 $A\left(3,1\right),C\left(0,4\right)$ 两点坐标代入二次函数 $y=-x^2+bx+c$，
得 $\begin{cases}-3^2+3b+c=1,\\c=4,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=2,\\c=4.\end{cases}$
所以二次函数解析式为 $y=-x^2+2x+4=-\left(x-1\right)^2+5$，
所以点 $M$ 的坐标为 $\left(1,5\right)$，抛物线的对称轴为 $x=1$．
设直线 $AC$ 解析式为 $y=kx+b$，把 $A\left(3,1\right),C\left(0,4\right)$ 两点坐标代入，
得 $\begin{cases}3k+b=1,\\b=4,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=4.\end{cases}$
所以直线 $AC$ 的解析式为 $y=-x+4$．
作抛物线的对称轴，交 $AC$ 于点 $E$，交 $AB$ 于点 $F$．
则点 $E$ 坐标为 $\left(1,3\right)$，点 $F$ 坐标为 $\left(1,1\right)$．
由题意可得 $1<5-m<3$，
解得 $2<m<4$． -
点 $P$ 是直线 $AC$ 上的动点，若点 $P$、点 $C$、点 $M$ 所构成的三角形与 $\triangle BCD$ 相似，请直接写出所有点 $P$ 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．标注答案符合题意的点 $P$ 有 $4$ 个，分别为 $P_{1}\left(-3,7\right)$，$P_{2}\left(3,1\right)$，$P_{3}\left(-\dfrac13,\dfrac{13}3\right)$，$P_{4}\left(\dfrac13,\dfrac{11}3\right)$解析如图，连接 $MA,MC$．
则 $MC=\sqrt 2$，$AM=\sqrt{(3-1)^2+(1-5)^2}=2\sqrt 5$．
而 $AC=3\sqrt 2$，可得 $AC^2+MC^2=AM^2$，
所以 $\angle MCA=90^\circ$．
设点 $P$ 的坐标为 $(m,-m+4)$，则 $PC=\sqrt{m^2+(-m+4-4)^2}=\sqrt 2 |m|$．
$\triangle MCP$ 和 $\triangle BDC$ 相似有如下两种情况：
① 当 $\triangle MCP\backsim \triangle BDC$ 时，有 $\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{MC}{PC}$，
即 $\dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2 |m|}$，
解得 $m=\pm 3$，
所以此时点 $P$ 的坐标为 $(-3,7)$ 或 $(3,1)$；
② 当 $\triangle PCM\backsim \triangle BDC$ 时，有 $\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{PC}{MC}$，
即 $\dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt 2|m|}{\sqrt 2}$，
解得 $m=\pm \dfrac 13$，
所以此时点 $P$ 的坐标为 $\left(-\dfrac 13,\dfrac{13}3\right)$ 或 $\left(\dfrac 13,\dfrac{11}3\right)$．
综上可得，符合题意的点 $P$ 有 $4$ 个，分别为 $P_{1}\left(-3,7\right)$，$P_{2}\left(3,1\right)$，$P_{3}\left(-\dfrac13,\dfrac{13}3\right)$，$P_{4}\left(\dfrac13,\dfrac{11}3\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
