求证：数列 $\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$ 收敛．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们熟知\[a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\left(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots b^n\right),\]设 $a>b>0$，则有\[a^{n+1}-b^{n+1}>(a-b)\cdot (n+1)b^n,\]即\[b^{n+1}>a^n\cdot \left[(n+1)b-na\right].\]令 $a=1+\dfrac 1n$，$b=1+\dfrac{1}{n+1}$，则\[\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\dfrac 1n\right)^n,\]从而数列 $\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$ 单调递增．另一方面，令 $a=1+\dfrac{1}{2n}$，$b=1$，可得\[1>\left(1+\dfrac 1{2n}\right)^n\cdot \dfrac 12,\]即\[\left(1+\dfrac 1{2n}\right)^{2n}<4,\]因此数列 $\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$ 有上界 $4$．
综上所述，命题得证．
综上所述，命题得证．
答案
解析
备注
