在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y= 2{x^2} + mx + n $ 经过点 $ A\left(0, - 2\right),B\left(3,4\right) $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求抛物线的表达式及对称轴；标注答案抛物线解析式为 $ y=2x^2-4x-2 $，对称轴为直线 $ x=1 $解析因为抛物线 $ y=2x^2+mx+n $ 经过点 $ A\left(0,-2\right),B\left(3,4\right) $，代入得
$\begin{cases}
n=−2,\\
18+3m+n=4
.\\\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=−4,\\
n=−2.\\\end{cases}$
所以抛物线解析式为 $ y=2x^2-4x-2 $，对称轴为直线 $ x=1 $． -
设点 $ B $ 关于原点的对称点为 $ C $，点 $ D $ 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 $ A,B $ 之间的部分为图象 $ G $（包含 $ A,B $ 两点）．若直线 $ CD $ 与图象 $ G $ 有公共点，结合函数图象，求点 $ D $ 纵坐标 $ t $ 的取值范围．标注答案$ t $ 的范围为 $-4\leqslant t\leqslant \dfrac 4 3 $解析由题意得 $ C\left(-3,-4\right) $，二次函数 $ y=2x^2-4x-2 $ 的最小值为 $ -4 $．
由函数图象得出 $D$ 纵坐标最小值为 $ -4 $．
设直线 $ BC $ 解析式为 $ y=kx+b $，将 $ B $ 与 $ C $ 坐标代入得
$\begin{cases}3k+b=4,\\
−3k+b=−4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac 4 3,\\ b=0,\end{cases}$
所以直线 $ BC $ 解析式为 $y=\dfrac 4 3 x$．
当 $ x=1 $ 时，$y=\dfrac 4 3 $，则 $ t $ 的范围为 $-4\leqslant t\leqslant \dfrac 4 3 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
