已知抛物线 $y=ax^2+bx+8$（$a\ne 0$）与 $x$ 轴交于 $A(-2,0),B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$，顶点为点 $D$，过 $A,B$ 两点作 $x$ 轴的垂线，交直线 $CD$ 于点 $E,F$，将抛物线沿其对称轴向上平移 $m$ 个单位，使抛物线与线段 $EF$（含线段端点）只有 $1$ 个公共点，求 $m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$m$ 的取值范围是 $6<m\leqslant 12$
【解析】
由题意可设抛物线解析式为 $y=a(x+2)(x-4)$，
从而 $-8a=8$，即 $a=-1$，
所以抛物线解析式为 $y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9$．
所以点 $C(0,8)$，点 $D(1,9)$，
所以直线 $CD$ 的解析式为 $y=x+8$．
因为过点 $A,B$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $CD$ 于点 $E,F$，
从而点 $E(-2,6)$，点 $F(4,12)$．
若抛物线向上平移 $m$ 个单位长度（$m>0$），
则抛物线的解析式为 $y=-(x-1)^2+9+m$．
当抛物线过点 $E(-2,6)$ 时，得 $m=6$；
当抛物线过点 $F(6,12)$ 时，得 $m=12$，
因为抛物线与线段 $EF$（含线段端点）只有 $1$ 个公共点，
所以结合图象可得 $m$ 的取值范围是 $6<m\leqslant 12$．
从而 $-8a=8$，即 $a=-1$，
所以抛物线解析式为 $y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9$．
所以点 $C(0,8)$，点 $D(1,9)$，
所以直线 $CD$ 的解析式为 $y=x+8$．
因为过点 $A,B$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $CD$ 于点 $E,F$，
从而点 $E(-2,6)$，点 $F(4,12)$．
若抛物线向上平移 $m$ 个单位长度（$m>0$），
则抛物线的解析式为 $y=-(x-1)^2+9+m$．
当抛物线过点 $E(-2,6)$ 时，得 $m=6$；当抛物线过点 $F(6,12)$ 时，得 $m=12$，
因为抛物线与线段 $EF$（含线段端点）只有 $1$ 个公共点，
所以结合图象可得 $m$ 的取值范围是 $6<m\leqslant 12$．
答案
解析
备注
