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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $y=2x-3$ 与 $y$ 轴交于点 $A$，点 $A$ 与点 $B$ 关于 $x$ 轴对称，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线 $l$，直线 $l$ 与直线 $y=2x-3$ 交于点 $C$，如果抛物线 $y=nx^2-4nx+5n$（$n>0$）与线段 $BC$ 有唯一公共点，求 $n$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    代数部分
    >
    函数
    >
    函数图象的公共点
【答案】
当 $\dfrac 35\leqslant n <\dfrac 32$ 或 $n=3$ 时，抛物线与线段 $BC$ 有一个公共点
【解析】
因为直线 $y=2x-3$ 与 $y$ 轴交于点 $A(0,-3)$，
所以点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B(0,3)$，$l$ 为直线 $y=3$．
因为直线 $y=2x-3$ 与直线 $l$ 交于点 $C$，
所以点 $C$ 的坐标为 $(3,3)$．
因为抛物线 $y=nx^2-4nx+5n=n(x-2)^2+n$（$n>0$），
所以抛物线的对称轴为直线 $x=2$，顶点为 $(2,n)$．① 当 $n>3$ 时，抛物线最小值为 $n>3$，与线段 $BC$ 无公共点；
② 当 $n=3$ 时，抛物线顶点为 $(2,3)$，在线段 $BC$ 上，此时抛物线与线段 $BC$ 有一个公共点；
③ 当 $0<n<3$ 时，抛物线最小值为 $n$，与直线 $BC$ 有两个交点，
如果抛物线 $y=n(x-2)^2+n$ 经过点 $B(0,3)$，则 $3=5n$，解得 $n=\dfrac 35$，
由抛物线的对称轴为直线 $x=2$，可知抛物线经过点 $(4,3)$，
点 $(4,3)$ 不在线段 $BC$ 上，此时抛物线与线段 $BC$ 有一个公共点 $B$，
如果抛物线 $y=n(x-2)^2+n$ 经过点 $C(3,3)$，则 $3=2n$，解得 $n=\dfrac 32$，
由抛物线的对称轴为直线 $x=2$，可知抛物线经过点 $(1,3)$，
点 $(1,3)$ 在线段 $BC$ 上，此时抛物线与线段 $BC$ 有两个公共点，
综上所述，当 $\dfrac 35\leqslant n <\dfrac 32$ 或 $n=3$ 时，抛物线与线段 $BC$ 有一个公共点．
答案 解析 备注
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