已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左、右顶点分别记为 $A,B$．过 $A$ 斜率为 $1$ 的直线交椭圆于另一点 $S$，在椭圆 $C$ 上的 $T$ 满足：$\triangle{TSA}$ 的面积为 $\dfrac 15$，试确定点 $T$ 的个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
将椭圆通过仿射变换 $\begin{cases}x=x'\\ y=\dfrac 12 y'\end{cases}$ 变成圆 $x'^2+y'^2=4,$ 则\[S_{\triangle{S'AT'}}=2S_{\triangle{SAT}}=\dfrac 25.\]直线 $AS'$ 的方程为 $y'=2(x'+2)$，即 $2x'-y'+4=0$．所以圆心到直线 $AS'$ 的距离为 $\dfrac{4}{\sqrt 5}$，弦长$$AS'=2\sqrt{2^2-\left(\dfrac{4}{\sqrt 5}\right)^2}=\dfrac{4}{\sqrt 5}.$$所以 $T'$ 到直线 $AS'$ 的距离为$$\dfrac{\dfrac 25}{\dfrac 12 \cdot \dfrac{4}{\sqrt 5}}=\dfrac{1}{\sqrt 5}.$$由于 $\dfrac{1}{\sqrt 5}<\dfrac{4}{\sqrt 5}$，所以优弧上存在两个 $T'$ 点．又由于 $\dfrac{1}{\sqrt 5}>2-\dfrac{4}{\sqrt 4}$，所以在劣弧上不存在点 $T'$ 点．
综上，点 $T$ 的个数也即点 $T'$ 的个数是 $2$．
综上，点 $T$ 的个数也即点 $T'$ 的个数是 $2$．
答案
解析
备注
