如图，已知，关于 $x$ 的二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A\left(1,0\right)$ 和点 $B$，与 $y$ 轴交于点 $C\left(0,3\right)$，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
在 $y$ 轴上是否存在一点 $P$，使 $\triangle PBC$ 为等腰三角形，若存在，请求出点 $P$ 的坐标；标注答案存在，点 $P$ 的坐标为 $\left(0,0\right)$，$\left(0,3+3\sqrt 2\right)$，$\left(0,3-3\sqrt 2\right)$，$\left(0,-3\right)$解析因为抛物线 $y=x^2+bx+c$ 经过点 $A\left(1,0\right)$，$C\left(0,3\right)$．
所以 $\begin{cases} 1+b+3=0,\\ c=3,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=-4,\\c=3.\end{cases}$
所以二次函数的表达式为 $y=x^2-4x+3$．
由 $y=x^2-4x+3$ 得 $B$ 点坐标为 $\left(3,0\right)$．
① 当以 $BC$ 为底边时，由于 $OB=OC=3$，
所以点 $O$ 符合条件，即有点 $P_1\left(0,0\right)$，使 $\triangle PBC$ 为等腰三角形．
② 当以 $C$ 为顶点，$CB$ 为腰时，
$CP=CB=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt 2$．
a）当点 $P$ 在点 $C$ 上方时，$OP=OC+CP=3+3\sqrt 2$，有 $P_2\left(0,3+3\sqrt 2\right)$，使 $\triangle P_2BC$ 为等腰三角形．
b）当点 $P$ 在 $C$ 点下方时，$OP=CP-OC=3\sqrt 2-3$，有 $P_2\left(0,3-3\sqrt 2\right)$，使 $\triangle P_3BC$ 为等腰三角形．
③ 当以 $B$ 为顶点，$BC$ 为腰时，
由于 $OB\perp OC$，$BP=BC$，
所以点 $P$ 与点 $C\left(0,3\right)$ 关于 $x$ 轴对称，
所以有点 $P_4\left(0,-3\right)$，使 $\triangle P_4BC$ 为等腰三角形．
综上可得，点 $P$ 的坐标为 $\left(0,0\right)$，$\left(0,3+3\sqrt 2\right)$，$\left(0,3-3\sqrt 2\right)$，$\left(0,-3\right)$． -
有一个点 $M$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $1$ 个单位的速度在 $AB$ 上向点 $B$ 运动，另一个点 $N$ 从点 $D$ 与点 $M$ 同时出发，以每秒 $2$ 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 $M$ 到达点B时，点 $M,N$ 同时停止运动，问点 $M,N$ 运动到何处时，$\triangle MNB$ 面积最大，试求出最大面积．标注答案当点 $M$ 坐标为 $\left(2,0\right)$，点 $N$ 坐标为 $\left(2,2\right)$ 或 $\left(2,-2\right)$ 时，$\triangle MNB$ 面积最大，且最大面积为 $1$解析设点 $M$ 运动 $t$ 个单位时，$\triangle MNB$ 面积最大．
因为 $y=x^2-4x+3$ 经过 $x$ 轴上两点 $A\left(1,0\right)$ 和 $B\left(3,0\right)$．
所以 $OA=1$，$OB=3$．
所以 $BM=OB-OA-AM=3-1-t=2-t$，
因为点 $N$ 运动的速度是点 $M$ 的 $2$ 倍，
所以 $DN=2t$，
所以 $S_{\triangle MNB}=\dfrac 12\left(2-t\right)\times 2t=-\left(t-1\right)^2+1$，
所以当 $t=1$ 时，$S_{\triangle MNB}$ 有最大值 $1$．
即当点 $M$ 坐标为 $\left(2,0\right)$，点 $N$ 坐标为 $\left(2,2\right)$ 或 $\left(2,-2\right)$ 时，$\triangle MNB$ 面积最大，且最大面积为 $1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
