已知直线 $l_1$：$y=kx+m_1$ 与椭圆 $G$：$\dfrac {x^2}{2}+y^2=1$ 交于 $A,B$ 两点，直线 $l_2$：$y=kx+m_2$（$m_1\neq m_2$）与椭圆 $G$ 交于 $C,D$ 两点，且 $|AB|=|CD|$，如图所示．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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证明：$m_1+m_2=0$；标注答案略解析
仿射变换 $ABCD$ 为椭圆内接平行四边形，作仿射变换后变为圆内接平行四边形，为矩形．因此对角线为直径，也就是说椭圆内接平行四边形的对角线互相平分于原点，于是$$m_1+m_2=0;$$相关直线 设直线 $y=kx+m$ 与椭圆交于两点 $A,B$，则联立直线与椭圆方程，有$$\left(k^2+\dfrac 12\right)x^2+2kmx+m^2-1=0.$$所以\[|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot \dfrac{\sqrt{4k^2m^2-4\left(k^2+\dfrac 12\right)(m^2-1)}}{k^2+\dfrac 12}=\dfrac{2\sqrt{1+k^2}}{k^2+\dfrac 12}\cdot \sqrt{k^2-\dfrac{m^2-1}{2}}.\]所以 $|AB|=|CD|$ 等价于$${m_1}^2={m_2}^2,$$又因为 $m_1\ne m_2$，所以 $m_1=-m_2$，即$$m_1+m_2=0.$$ -
求四边形 $ABCD$ 的面积 $S$ 的最大值．标注答案$2\sqrt 2$解析
仿射变换 圆内接矩形当且仅当矩形为正方形时面积最大，最大值为 $4$，于是椭圆内接平行四边形面积的最大值为$$\dfrac{4}{\sqrt 2}=2\sqrt 2.$$相关直线 由 $(1)$，$AB$ 与 $CD$ 关于原点对称，四边形 $ABCD$ 为对称中心在原点的平行四边形，不妨设 $m_1>0$，则\[\begin{split}S_{ABCD}&=4\cdot S_{\triangle{OAB}}\\&=4\cdot \dfrac 12 \cdot \dfrac{2\sqrt{1+k^2}}{k^2+\dfrac 12}\cdot \sqrt{k^2-\dfrac{m_1^2-1}{2}}\cdot \dfrac{m_1}{\sqrt{1+k^2}}\\&=\dfrac{4}{k^2+\dfrac 12}\cdot \sqrt{\dfrac{m_1^2(2k^2+1-m_1^2)}{2}}\\& \leqslant \dfrac{4}{k^2+\dfrac 12}\cdot \dfrac{\dfrac{m_1^2+(2k^2+1-m_1^2)}{2}}{\sqrt 2}\\&=2\sqrt 2,\end{split}\]当且仅当 $m_1^2=k^2+\dfrac 12$ 时取得等号）．所以四边形 $ABCD$ 的面积 $S$ 的最大值是 $2\sqrt 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
