已知二次方程 $x^2+xy-6y^2-20x-20y+k=0$ 表示两条直线，求这两条直线的方程及它们的夹角．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x+3y-8=0$ 和 $x-2y-12=0$；$\dfrac{\pi}{4}$
【解析】
根据二次方程的二次项的系数，可以将其分解为 $(x+3y+m)(x-2y+n)=0$，
其中$$\begin{cases}m+n=-20,\\ 3n-2m=-20, \\ mn=k,\end{cases}$$解得$$\begin{cases}m=-8,\\ n=-12,\\ k=96.\end{cases}$$于是这两条直线的方程分别是 $x+3y-8=0$ 和 $x-2y-12=0$．
它们的夹角 $\theta$ 可以利用夹角公式求出，$$\tan \theta =\dfrac{\dfrac 12 -\left(-\dfrac 13\right)}{1+\dfrac 12 \cdot \left(-\dfrac 13\right)}=1,$$因此 $\theta =\dfrac{\pi}{4}$．
其中$$\begin{cases}m+n=-20,\\ 3n-2m=-20, \\ mn=k,\end{cases}$$解得$$\begin{cases}m=-8,\\ n=-12,\\ k=96.\end{cases}$$于是这两条直线的方程分别是 $x+3y-8=0$ 和 $x-2y-12=0$．
它们的夹角 $\theta$ 可以利用夹角公式求出，$$\tan \theta =\dfrac{\dfrac 12 -\left(-\dfrac 13\right)}{1+\dfrac 12 \cdot \left(-\dfrac 13\right)}=1,$$因此 $\theta =\dfrac{\pi}{4}$．
答案
解析
备注
