已知圆心在直线 $y=2x$ 上的圆截 $y$ 轴所得弦长为 $2$ 且被 $x$ 轴分成两段弧的弧长之比为 $3:1$，求圆的方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(x\pm \dfrac{\sqrt 7}{7}\right)^2+\left(y\pm \dfrac{2\sqrt 7}{7}\right)^2=\dfrac 87$
【解析】
设圆心坐标为 $(a,b)$，半径为 $r$，则根据条件 ①，可得$$r^2-1=a^2;$$根据条件 ②，可得$$r^2=2b^2.$$而 $b=2a$，所以$$8a^2=a^2+1,$$所以 $a^2=\dfrac 17$，$b^2=\dfrac 47$．
因此所求圆的方程为 $\left(x\pm \dfrac{\sqrt 7}{7}\right)^2+\left(y\pm \dfrac{2\sqrt 7}{7}\right)^2=\dfrac 87$．
因此所求圆的方程为 $\left(x\pm \dfrac{\sqrt 7}{7}\right)^2+\left(y\pm \dfrac{2\sqrt 7}{7}\right)^2=\dfrac 87$．
答案
解析
备注
