题目 已知 $m\in \mathbb R$，直线 $l:mx-(m^2+1)y=4m$ 和圆 $C:x^2+y^2-8x+4y+16=0$． 问题1 求直线 $l$ 斜率的取值范围； 答案1 $\left[-\dfrac 12 ,\dfrac 12\right]$ 解析1 直线 $l$ 的斜率 $k=\dfrac{m}{m^2+1}$，其值域为 $\left[-\dfrac 12 ,\dfrac 12\right]$； 备注1 问题2 直线 $l$ 能否将圆 $C$ 分割成弧长的比值为 $\dfrac 12$ 的两段圆弧？为什么？ 答案2 不能 解析2 注意到 $l$ 恒过点 $P(4,0)$，而圆即 $(x-4)^2+(y+2)^2=4$．如图，当直线 $l$ 的斜率为 $-\dfrac 12$ 或 $\dfrac 12$ 时，分圆所成两段弧长比值（劣弧比优弧）最大，此时 $\tan \angle{PCM}=\dfrac 12$（$M$ 为垂足），因此该直线分圆所成两段弧长比值小于 $\dfrac 12$，因此直线 $l$ 不能将圆 $C$ 分割成弧长的比值为 $\dfrac 12$ 的两段圆弧． 备注2