如图，已知直角梯形 $ABCD$ 中，$AB=2$，$AD=CD=1$，点 $E$ 在线段 $AB$ 上，点 $F$ 在线段 $AD$ 上．$A$ 点关于直线 $EF$ 的对称点为 $P$．若 $P$ 落在梯形 $ABCD$ 的内部（包括边界），求 $DP$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 5-2$
【解析】
首先证明，若 $AP$ 的垂直平分线与线段 $AB$ 有交点等价于 $P$ 点在以 $B$ 为圆心，$AB$ 为半径的圆内（包括边界）．
{\color{cyan}几何角度\quad }点 $P$ 在圆内或圆上等价于 $PB\leqslant AB$，$\angle{APB}\geqslant \angle{PAB}$，所以可以从 $\angle{QPB}$ 内分割出一个角，使之等于 $\angle{PAB}$，形成这个角的射线与线段 $AB$ 的交点设为 $E$，则 $\triangle{APE}$ 为等腰三角形，$E$ 与 $PA$ 的中点连线所在的直线就是满足条件的垂直平分线．
{\color{cyan}代数角度\quad }以 $A$ 为原点，$AB$ 为 $x$ 轴正半轴建立平面直角坐标系，设 $P(x_0,y_0)$，则 $PA$
的垂直平分线方程为\[y-\dfrac{y_0}{2}=-\dfrac{x_0}{y_0}\left(x-\dfrac{x_0}{2}\right),\]因此其横截距为 $\dfrac{y_0^2}{2x_0}+\dfrac{x_0}{2}$．
根据题意，有\[0\leqslant \dfrac{y_0^2}{2x_0}+x_0\leqslant |AB|,\]即\[(x_0-|AB|)^2+y_0^2\leqslant |AB|^2,\]所以命题成立．因此，点 $P$ 位于如图所示的阴影区域内，求得 $DP$ 的最小值为 $BD-BA =\sqrt 5-2$．
{\color{cyan}几何角度\quad }点 $P$ 在圆内或圆上等价于 $PB\leqslant AB$，$\angle{APB}\geqslant \angle{PAB}$，所以可以从 $\angle{QPB}$ 内分割出一个角，使之等于 $\angle{PAB}$，形成这个角的射线与线段 $AB$ 的交点设为 $E$，则 $\triangle{APE}$ 为等腰三角形，$E$ 与 $PA$ 的中点连线所在的直线就是满足条件的垂直平分线．
{\color{cyan}代数角度\quad }以 $A$ 为原点，$AB$ 为 $x$ 轴正半轴建立平面直角坐标系，设 $P(x_0,y_0)$，则 $PA$
的垂直平分线方程为\[y-\dfrac{y_0}{2}=-\dfrac{x_0}{y_0}\left(x-\dfrac{x_0}{2}\right),\]因此其横截距为 $\dfrac{y_0^2}{2x_0}+\dfrac{x_0}{2}$．
根据题意，有\[0\leqslant \dfrac{y_0^2}{2x_0}+x_0\leqslant |AB|,\]即\[(x_0-|AB|)^2+y_0^2\leqslant |AB|^2,\]所以命题成立．因此，点 $P$ 位于如图所示的阴影区域内，求得 $DP$ 的最小值为 $BD-BA =\sqrt 5-2$．
答案
解析
备注
