如图，从圆外一点 $E$ 引圆的切线 $EF$，割线 $EAB$ 和割线 $EDC$，其中 $A,B,C,D,F$ 均在圆上，若直线 $BD$ 通过线段 $EF$ 的中点 $O$，求证：$AC\parallel EF$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
以 $O$ 为原点，$EF$ 为坐标轴建立平面直角坐标系，设 $E(-x_0,0)$，$F(x_0,0)$，圆心为 $(x_0,r)$，则圆的方程为$$(x-x_0)^2+(y-r)^2=r^2,$$即$$x^2+y^2-2x_0x-2ry+x_0^2=0,$$过 $E$ 的相交直线 $AB\cup CD$ 方程为$$\left(x+h_1y+x_0\right)\left(x+h_2y+x_0\right)=0,$$于是相交直线 $BD\cup AC$ 的方程为$$x^2+y^2-2x_0x-2ry+x_0^2+\lambda\left(x+h_1y+x_0\right)\left(x+h_2y+x_0\right)=0,$$原点 $O(0,0)$ 在直线 $BD$ 上，于是可得 $\lambda=-1$．从而$$BD\cup AC:\left(1-h_1h_2\right)y^2-\left(h_1+h_2\right)xy-4x_0x-\left(2r+h_1+h_2\right)y=0,$$于是该方程中 $x^2$ 的系数为 $0$，于是 $AC\parallel EF$，原命题得证．
答案
解析
备注
