已知定圆 $C:x^2+(y-3)^2=4$，定直线 $m:x+3y+6=0$，过点 $A(-1,0)$ 的一条动直线与直线 $m$ 相交于 $N$，与圆 $C$ 相交于 $P,Q$ 两点，$M$ 是 $PQ$ 的中点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $l$ 与 $m$ 垂直时，求证：$l$ 过圆心 $C$；标注答案略解析略
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当 $|PQ|=2\sqrt 3$ 时，求直线 $l$ 的方程；标注答案$x=-1$ 和 $4x-3y+4=0$解析略
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设 $t=\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}$，试问 $t$ 是否为定值，若为定值，请求出 $t$ 的值；若不为定值，请说明理由．标注答案$t$ 为定值 $5$解析注意到 $k_{CA}=3$，所以 $CA\perp m$．于是连接 $CM$，连接 $CA$ 并延长交直线 $m$ 于 $B$，则有 ${{\rm{Rt}}\triangle{ACM}}$ 与 $ {\rm {Rt}}\triangle{ANB}$ 相似，于是\[\dfrac{|AN|}{|AC|}=\dfrac{AB}{AM},\]因此\[|AN|\cdot |AM|=|AB|\cdot |AC|=5,\]于是 $t$ 为定值 $-5$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
