如图，已知二次函数 ${y_1}=-{x^2}+\dfrac{13}{4}x+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $A\left(4,0\right)$，与 $y$ 轴的交点为 $B$，过 $A,B$ 的直线为 ${y_2}=kx+b$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
由图象写出满足 ${y_1} < {y_2}$ 的自变量 $x$ 的取值范围；标注答案满足 ${y_1} < {y_2}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是 $x<0$ 或 $x>4$解析将 $A\left(4,0\right)$ 代入二次函数解析式，得 $c=3$．
所以所求二次函数 $y_1$ 的解析式为 $y_1=-x^2+\dfrac {13}{4}x+3$．
所以点 $B$ 的坐标为 $B\left(0,3\right)$．
由图象可以看出，满足 ${y_1}<{y_2}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是 $x<0$ 或 $x>4$． -
在两坐标轴上是否存在点 $P$，使得 $\triangle ABP$ 是以 $AB$ 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．标注答案存在，点 $P$ 的坐标为 $P_1\left(\dfrac 78,0\right)$，$P_2\left(0,-\dfrac 76\right)$解析如图，作线段 $AB$ 的中垂线 $l$，垂足为 $C$，交 $x$ 轴于点 $P_1$，交 $y$ 轴于点 $P_2$．
因为点 $A\left(4,0\right)$，点 $B\left(0,3\right)$，
所以 $OA=4$，$OB=3$，
所以在 $\mathrm {Rt}\triangle AOB$ 中 $AB=\sqrt {OA^2+OB^2}=5$，
所以 $AC=BC=\dfrac 52$．
因为 $\mathrm {Rt}\triangle ACP_1 \backsim \mathrm {Rt}\triangle AOB$，
所以 $\dfrac {AP_1}{AB}=\dfrac {AC}{OA}$，即 $\dfrac {AP_1}{5}=\dfrac {\dfrac 52}{4}$，
解得 $AP_1=\dfrac {25}{8}$，
而 $OP_1=OA-AP_1=4-\dfrac {25}{8}=\dfrac 78$，
所以点 $P_1$ 的坐标为 $P_1\left(\dfrac 78,0\right)$．
同理 $\mathrm {Rt}\triangle P_2CB \backsim \mathrm {Rt}\triangle AOB $，
所以 $\dfrac {P_2B}{AB}=\dfrac {BC}{BO}$，即 $\dfrac {P_2B}{5}=\dfrac {\dfrac 52}{3}$，
解得 $P_2B=\dfrac {25}{6}$，
而 $OP_2=P_2B-OB=\dfrac {25}{6}-3=\dfrac 76$，
所以 点 $P_2$ 的坐标为 $P_2\left(0,-\dfrac 76\right)$．
综上可得，所求点 $P$ 的坐标为 $P_1\left(\dfrac 78,0\right)$，$P_2\left(0,-\dfrac 76\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
