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如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$M$ 为 $BB_1$ 的中点，则二面角 $M-CD_1-A$ 的余弦值为  \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt3}{6}$
B: $\dfrac12$
C: $\dfrac{\sqrt3}{3}$
D: $\dfrac{\sqrt6}{3}$
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的角
    >
    二面角
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    利用向量计算空间几何量
【答案】
C
【解析】
以 $D$ 为坐标原点，$DA,DC,DD_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系，则$$D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D_1(0,0,1),M\left(1,1,\dfrac12\right),$$且平面 $ACD_1$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(1,1,1)$，平面 $MCD_1$ 法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(-1,2,2)$．
因此$$\cos\left\langle\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right\rangle=\dfrac {\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\dfrac{\sqrt3}{3},$$故二面角 $M-CD_1-A$ 的余弦值为 $\dfrac{\sqrt3}{3}$．
题目 答案 解析 备注
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