已知 $y$ 轴正半轴上的两定点 $A(0,a),B(0,b)$（$a,b>0$ 且 $a\ne b$），试在 $x$ 轴正半轴（不包括原点）上找一点 $C(c,0)$，使 $\angle{ACB}$ 取最大值．（用 $a,b$ 表示 $c$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt{ab}$
【解析】
如图，作 $\triangle{ABC}$ 的外接圆 $P$，由于弦长 $AB$ 为定值 $b-a$，所以圆 $P$ 的半径越小，$\angle{BCA}$ 越大．当圆 $P$ 与 $x$ 轴相切于 $C$ 时圆的半径最小，此时 $P\left(c,\dfrac{a+b}{2}\right)$．因为 $PA=PC$，所以\[\sqrt{c^2+\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2}=\dfrac{a+b}{2},\]解得 $c=\sqrt{ab}$．
答案
解析
备注
