设 $A,B$ 是椭圆 $3x^2+y^2=\lambda $ 上两点，$N(1,3)$ 是线段 $AB$ 中点，线段 $AB$ 的中垂线与椭圆交于 $C,D$．问是否存在实数 $\lambda$，使 $A,B,C,D$ 四点共圆？并说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在实数 $\lambda$，$\lambda>3$，使得 $A,B,C,D$ 均共圆
【解析】
不难求出 $AB:x+y-4=0$，$CD:x-y+2=0$，于是过 $A,B,C,D$ 四点的二次曲线为$$3x^2+y^2-\lambda +\mu(x+y-4)(x-y+2)=0,$$当 $\mu =-1$ 时方程 $x^2$ 和 $y^2$ 前的系数相等，此时曲线方程为$$2x^2+2y^2+2x-6y+8-\lambda =0,$$当且仅当 $\lambda>3$ 时该方程表示圆．因此对任意的实数 $\lambda>3$，$A,B,C,D$ 均共圆．
答案
解析
备注
