已知双曲线 $C:3x^{2}-y^{2}=3a^{2}$，$F$ 为 $C$ 的右焦点，$A$ 为 $C$ 的左顶点，$Q$ 为第一象限内 $C$ 上的任意一点，问是否存在常数 $\lambda(\lambda>0)$，使得 $\angle QFA=\lambda \angle QAF$ 恒成立．若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在常数 $\lambda =2$
【解析】
显然 $Q(2a,3a)$ 是双曲心线上一点，此时 $\lambda=2$，于是若 $\lambda$ 存在，则其值只可能为 $2$．如图，设 $Q(x_{0},y_{0})$，$MN$ 为 $AF$ 的垂直平分线，则 $A(-a,0)$，$F(2a,0)$，$M\left(\dfrac{1}{2}a,0\right)$，于是\[\dfrac{|AN|}{|NQ|}=\dfrac{x_{N}-x_{A}}{x_{Q}-x_{N}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}a}{x_{0}-\dfrac{1}{2}a}=\dfrac{3a}{2x_{0}-a}.\]由 $\dfrac{|AN|}{|NQ|}=\dfrac{|AF|}{|QF|}$，所以 $NF$ 为 $\angle QFA$ 的平分线，所以 $\angle QFA=2\angle NFA=2\angle QAF$，因此 $\lambda $ 的值为 $2$．
答案
解析
备注
