已知 $F$ 是抛物线 $C:y^{2}=4x$ 的焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点．设 $\overrightarrow{FB}=\lambda\overrightarrow{AF}$，若 $\lambda\in[4,9]$，求 $l$ 在 $y$ 轴上截距的变化范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac{4}{3},-\dfrac{3}{4}\right]\cup\left[\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{3}\right]$
【解析】
设直线 $AB$ 与准线的夹角为 $\theta$，记 $AF=m$，$BF=n$，$PF=s$，则 $n=\lambda m$，$p=2$．\[\sin\theta=\dfrac{AA'}{PA}=\dfrac{FF'}{PF}=\dfrac{BB'}{PB},\]即\[\dfrac{1}{\sin\theta}=\dfrac{s-m}{m}=\dfrac{p}{s}=\dfrac{s+n}{n},\]所以\[\sin\theta=\dfrac{\lambda-1}{\lambda+1}=1-\dfrac{2}{\lambda+1}.\]于是\[OM=\dfrac{1}{2}PF'=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{p}{\tan\theta}=\dfrac{1}{\tan\theta}.\]因此 $OM$ 随着 $\lambda$ 的增大而减小，因此 $OM\in\left[\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{3}\right]$．考虑到对称性，直线 $l$ 在 $y$ 轴上截距的变化范围为 $\left[-\dfrac{4}{3},-\dfrac{3}{4}\right]\cup\left[\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{3}\right]$．
答案
解析
备注
