设抛物线 $C:x^{2}=2py(p>0)$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，$A$ 为 $C$ 上一点，已知以 $F$ 为圆心，$FA$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B,D$ 两点．
【难度】
【出处】
2012年高考新课标全国卷（文）
【标注】
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若 $\angle BFD=90^{\circ}$，$\triangle ABD$ 的面积为 $4\sqrt 2$，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；标注答案$p=2$，圆 $F$ 的方程为 $x^{2}+(y-1)^{2}=8$解析因为 $\angle BFD=90^{\circ}$，所以 $\triangle BDF$ 为等腰直角三角形，于是 $|BD|=2p$，$|FA|=|FD|=\sqrt 2p$．于是\[S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot 2p\cdot \sqrt 2p=\sqrt 2p^{2}=4\sqrt 2,\]所以 $p=2$，圆 $F$ 的方程为 $x^{2}+(y-1)^{2}=8$．
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若 $A,B,F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点，求坐标原点到 $m,n$ 距离的比值．标注答案$2$解析$A,B,F$ 共线，则 $AB$ 为圆 $F$ 的直径，所以 $AD\perp BD$，于是 $|AD|=|AF|=|FB|=|FD|$，所以 $\angle ABD=30^{\circ}$．设直线 $m:y=\dfrac{\sqrt 3}{3}x+\dfrac{p}{2}$，直线 $n:y=\dfrac{\sqrt 3}{3}x+t$，则\[p\cdot \left(\dfrac{\sqrt 3}{3}\right)^{2}=2\cdot (-1)\cdot t,\]于是 $t=-\dfrac{p}{6}$．因此所求距离的比值为 $2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
