平面与内与两定点 $A_{1}(-a,0)$，$A_{2}(a,0)(a>0)$ 连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_{1},A_{2}$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆或双曲线．
【难度】
【出处】
2011年高考湖北卷（理）
【标注】
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求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 的关系；标注答案略解析略
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当 $m=-1$ 时，对应的曲线为 $C_{1}$；对给定的 $m\in(-1,0)\cup(0,+\infty)$，对应的曲线为 $C_{2}$，设 $F_{1},F_{2}$ 是 $C_{2}$ 的两个焦点．试问：在 $C_{1}$ 上，是否存在点 $N$，使得 $\triangle F_{1}NF_{2}$ 的面积 $S=|m|a^{2}$？若存在，求 $\tan\angle F_{1}NF_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由．标注答案$\dfrac{2|m|}{m}$解析当 $m>0$ 或 $-1<m<0$ 时，$F_{1}\left(\sqrt{1+m}\cdot a,0\right)$，$F_{2}\left(-\sqrt{1+m}\cdot a,0\right)$；因为\[S_{\triangle NF_{1}F_{2}}=|m|a^{2},\]所以\[\dfrac{1}{2}\cdot |y_{N}|\cdot 2\sqrt{1+m}\cdot a=|m|\cdot a^{2},\]所以\[y_{N}=\dfrac{|m|}{\sqrt{1+m}}a,\]而 $C_{1}$ 的半径是 $a$．
当 $\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\leqslant m\leqslant \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ 时，存在符合条件的点 $N$．$|x_{N}|=\dfrac{\sqrt{1+m-m^{2}}}{\sqrt{1+m}}\cdot a$．设直线 $NF_{1},NF_{2}$ 的斜率为 $k_{1},k_{2}$ 则\[\begin{split}&k_{1}=\dfrac{\dfrac{|m|}{\sqrt{1+m}\cdot a}}{\dfrac{\sqrt{1+m-m^{2}}}{\sqrt{1+m}}\cdot a-\sqrt{1+m}\cdot a}=\dfrac{|m|}{\sqrt{1+m-m^{2}}-(1+m)};\\ & k_{2}=\dfrac{|m|}{\sqrt{1+m-m^{2}}+(1+m)}.\end{split}\]于是\[\begin{split}\tan\angle F_{1}NF_{2}&=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}\\&=\dfrac{\dfrac{|m|}{\sqrt{1+m-m^{2}}-(1+m)}-\dfrac{|m|}{\sqrt{1+m-m^{2}}+(1+m)}}{1+\dfrac{m^{2}}{-m-2m}}\\&=\dfrac{|m|\cdot 2(1+m)}{-m-2m^{2}+m^{2}}\\&=\dfrac{2|m|(1+m)}{-m(1+m)}=2\cdot \dfrac{|m|}{m}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
