设直线 $l:y=x+m(m\in\mathbb R)$ 与椭圆 $M:\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 有两个不同的交点 $P,Q$，$l$ 与矩形 $ABCD$ 有两个不同的交点 $S,T$．求 $\dfrac{|PQ|}{|ST|}$ 的最大值及取得最大值时 $m$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $m=\pm \dfrac{5}{3}$ 或 $m=0$ 时，$\dfrac{|PQ|}{|ST|}$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt 5}{5}$
【解析】
考虑到对称性，只需要考虑 $m\geqslant 0$ 的情形．由 $A\left(-2,-1\right)$，$D(-2,1)$ 得，
当 $0\leqslant m\leqslant 1$ 时，直线 $l$ 与 $AB,CD$ 相交；
当 $1<m<3$ 时，直线 $l$ 与 $AD,CD$ 相交；
当 $m\geqslant 3$ 时不符合题意．
联立直线 $l$ 与椭圆 $M$ 的方程得 $5x^{2}+8mx+4m^{2}-4=0$．于是\[\left|x_{Q}-x_{P}\right|=\dfrac{4\sqrt {5-m^{2}}}{5}.\]① 当 $0\leqslant m\leqslant 1$ 时，$\left|x_{S}-x_{T}\right|=2$，所以 $\dfrac{|PQ|}{|ST|}=\dfrac{2\sqrt{5-m^{2}}}{5}$；
② 当 $1<m<3$ 时，$\left|x_{S}-x_{T}\right|=3-m$．所以\[\dfrac{|PQ|}{|ST|}=\dfrac{4\sqrt{5-m^{2}}}{5(3-m)},\]考虑到 $m$ 的范围为 $1<m<\sqrt 5$（直线 $l$ 与椭圆相交）．于是\[\dfrac{|PQ|}{|ST|}=\begin{cases}\dfrac{2\sqrt{5-m^{2}}}{5},&0\leqslant m\leqslant 1.\\ \dfrac{4\sqrt{5-m^{2}}}{5(3-m)},&1<m<\sqrt 5.\end{cases}\]可求得当 $m=\dfrac{5}{3}$ 或 $m=0$ 时，$\dfrac{|PQ|}{|ST|}$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt 5}{5}$．根据对称性，当 $m=\pm \dfrac{5}{3}$ 或 $m=0$ 时，$\dfrac{|PQ|}{|ST|}$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt 5}{5}$．
当 $0\leqslant m\leqslant 1$ 时，直线 $l$ 与 $AB,CD$ 相交；
当 $1<m<3$ 时，直线 $l$ 与 $AD,CD$ 相交；
当 $m\geqslant 3$ 时不符合题意．
联立直线 $l$ 与椭圆 $M$ 的方程得 $5x^{2}+8mx+4m^{2}-4=0$．于是\[\left|x_{Q}-x_{P}\right|=\dfrac{4\sqrt {5-m^{2}}}{5}.\]① 当 $0\leqslant m\leqslant 1$ 时，$\left|x_{S}-x_{T}\right|=2$，所以 $\dfrac{|PQ|}{|ST|}=\dfrac{2\sqrt{5-m^{2}}}{5}$；
② 当 $1<m<3$ 时，$\left|x_{S}-x_{T}\right|=3-m$．所以\[\dfrac{|PQ|}{|ST|}=\dfrac{4\sqrt{5-m^{2}}}{5(3-m)},\]考虑到 $m$ 的范围为 $1<m<\sqrt 5$（直线 $l$ 与椭圆相交）．于是\[\dfrac{|PQ|}{|ST|}=\begin{cases}\dfrac{2\sqrt{5-m^{2}}}{5},&0\leqslant m\leqslant 1.\\ \dfrac{4\sqrt{5-m^{2}}}{5(3-m)},&1<m<\sqrt 5.\end{cases}\]可求得当 $m=\dfrac{5}{3}$ 或 $m=0$ 时，$\dfrac{|PQ|}{|ST|}$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt 5}{5}$．根据对称性，当 $m=\pm \dfrac{5}{3}$ 或 $m=0$ 时，$\dfrac{|PQ|}{|ST|}$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt 5}{5}$．
答案
解析
备注
