设 $A,B$ 分别为椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$ 的左、右顶点，设 $P\left( {4 , a} \right)$，$a \ne 0$，若直线 $AP$ 与椭圆相交于异于 $A$ 的点 $M$，证明：$\Delta MBP$ 为钝角三角形．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题意，${k_{PA}} = \dfrac{a}{6}$，${k_{PB}} = \dfrac{a}{2}$．注意到 ${k_{MA}} \cdot {k_{MB}} = - \dfrac{3}{4}$，于是 ${k_{BM}} = - \dfrac{9}{{2a}}$，而 ${k_{BN}} = {k_{PB}} = \dfrac{a}{2}$．
因此 $\overrightarrow {BM} $，$\overrightarrow {BN} $ 方向上的方向向量分别为 $\left( {1 , - \dfrac{9}{{2a}}} \right)$，$\left( {1 , \dfrac{a}{2}} \right)$．它们的数量积为 $1 - \dfrac{9}{4} < 0$，因此原命题得证．
因此 $\overrightarrow {BM} $，$\overrightarrow {BN} $ 方向上的方向向量分别为 $\left( {1 , - \dfrac{9}{{2a}}} \right)$，$\left( {1 , \dfrac{a}{2}} \right)$．它们的数量积为 $1 - \dfrac{9}{4} < 0$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
