已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1(a>b>0)$ 的右顶点 $A(2,0)$，$P$（异于 $A$ 点）为椭圆上的一个动点，过 $O$ 作直线 $AP$ 的垂线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $E,D$，求 $\dfrac{|DE|}{|AP|}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
【解析】
设直线 $AP:y=k(x-2)$，则当 $k\ne 0$ 时，直线 $DE: y=\dfrac{1}{k}x$．联立直线 $AP$ 与椭圆方程，有 $x^{2}+ek^{2}(x-2)^{2}-4=0$，即\[(4k^{2}+1)x^{2}-16k^{2}x+16k^{2}-4=0.\]所以\[|AP|=\dfrac{4\sqrt{1+k^{2}}}{4k^{2}+1}.\]联立直线 $DE$ 与椭圆方程，有\[\left(1+\dfrac{3}{k^{2}}\right)x^{2}-12=0.\]所以\[|DE|=\dfrac{4\sqrt{1+k^{2}}}{\sqrt{k^{2}+4}}.\]于是有\[\dfrac{|DE|}{|AP|}=\dfrac{4k^{2}+1}{\sqrt{k^{2}+4}},\]设 $t=\sqrt{k^{2}+4},t\geqslant 2$，则\[\dfrac{|DE|}{|AP|}=\dfrac{4t^{2}-15}{t}=4t-\dfrac{15}{t}\in\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right).\]
答案
解析
备注
