已知 $A,B$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点，$P$ 是椭圆上异于 $A$、$B$ 的动点．试证明：当 $P$ 为椭圆的上顶点或下顶点时 $\angle APB$ 最大．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设直线 $PA,PB$ 的斜率分别为 $k_{1},k_{2}$，则 $k_{1}k_{2}=-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}$．\[\tan\angle APB=-\dfrac{|k_{1}-k_{2}|}{1+k_{1}k_{2}}=-\dfrac{\left|k_{1}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}k_{1}}\right|}{1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}}=-\dfrac{a^{2}}{c}\cdot \left(|k_{1}|+\dfrac{b^{2}}{a^{2}\cdot |k_{1}|}\right).\]于是当且仅当 $|k_{1}|=\dfrac{b}{a}$ 时 $\angle APB$ 最大，即原命题得证．
答案
解析
备注
