已知 $M\left(\sqrt 2,1\right)$ 是抛物线 $C:x^{2}=2y$ 上一点，$O$ 为坐标原点，$F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，$Q$ 为 $\triangle MOF$ 的外接圆圆心．若直线 $l:y=kx+\dfrac{1}{4}$ 与抛物线有两个不同的交点 $A,B$，与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D,E$，求当 $\dfrac{1}{2}\leqslant k\leqslant 2$ 时，$|AB|^{2}+|DE|^{2}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{13}{2}$
【解析】
由 $M\left(\sqrt 2,1\right)$，$O(0,0)$，$F\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$，得圆 $Q:x^{2}+y^{2}-\dfrac{5\sqrt 2}{4}x-\dfrac{1}{2}y=0$．联立直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的方程，有 $x^{2}-2kx-\dfrac{1}{2}=0$．联立直线 $l$ 与圆 $Q$ 的方程，有\[(k^{2}+1)x^{2}-\dfrac{5\sqrt 2}{4}x-\dfrac{1}{16}=0,\]于是\[|AB|^{2}+|DE|^{2}=(1+k^{2})\left[4k^{2}+2+\dfrac{\dfrac{25}{8}+\dfrac{k^{2}+1}{4}}{\left(k^{2}+1\right)^{2}}\right].\]设 $t=k^{2}+1$，则 $t\in\left[\dfrac{5}{4},5\right]$，则\[|AB|^{2}+|DE|^{2}=4t^{2}-2t+\dfrac{25}{8t}+\dfrac{1}{4},\]进而可得当 $t=\dfrac{5}{4}$ 时，$|AB|^{2}+|DE|^{2}$ 取得最小值 $\dfrac{13}{2}$．
答案
解析
备注
