已知直线 $l:y=\dfrac{1}{2}x+b(b>0)$ 抛物线 $C:y^{2}=4x$ 与抛物线交于 $A,B$ 两点，求 $\triangle AOB$ 面积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{32\sqrt 3}{9}$
【解析】
直线方程即 $x=2y-2b$，设 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则联立直线方程与抛物线方程，有 $y^{2}-8y+8b=0$，所以\[\begin{split}S_{\triangle AOB}&=\dfrac{1}{2}\cdot |AB|\cdot d(O,AB)\\&=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt 5\cdot 4\sqrt{4-2b}\cdot \dfrac{2b}{\sqrt 5}\\&=4\sqrt{b\cdot b\cdot (4-2b)}\leqslant 4\cdot \sqrt{\left(\dfrac{4}{3}\right)^{3}}\\&=\dfrac{32\sqrt 3}{9}.\end{split}\]当且仅当 $b=\dfrac{4}{3}$ 时取得等号．
答案
解析
备注
