已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$、$A_{2}$，点 $P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{1},-y_{1})$ 是双曲线上不同的两个动点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求直线 $A_{1}P$ 与 $A_{2}Q$ 交点的轨迹 $E$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1(x\ne \pm \sqrt 2)$解析$A_{1},A_{2}$ 为双曲线的左、右顶点，所以它们的坐标为 $A_{1}\left(-\sqrt 2,0\right)$，$A_{2}\left(\sqrt 2,0\right)$．\[k_{A_{1}E}\cdot k_{A_{2}E}=k_{A_{1}P}\cdot k_{A_{2}Q}=\dfrac{y_{1}-0}{x_{1}-(-\sqrt 2)}\cdot \dfrac{-y_{1}-0}{x_{1}-\sqrt 2}=\dfrac{-y_{1}^{2}}{x_{1}^{2}-2}.\]点 $P$ 在双曲线上，因此 $\dfrac{x_{1}^{2}}{2}-y_{1}^{2}=1$，$-y_{1}^{2}=1-\dfrac{x_{1}^{2}}{2}$ 代入上式有 $k_{A_{1}E}\cdot k_{A_{2}E}=-\dfrac{1}{2}$．设点 $E(x,y)$，则有\[\dfrac{y-0}{x-\sqrt 2}\cdot \dfrac{y-0}{x-(-\sqrt 2)}=-\dfrac{1}{2}.\]整理得 $\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1(x\ne \pm \sqrt 2)$．
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若过点 $(0,h)$，$h>0$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 与轨迹 $E$ 都只有一个交点，且 $l_{1}\perp l_{2}$，求 $h$ 的所有可能取值．标注答案$\sqrt3,\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}},\sqrt2$解析由 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 与轨迹 $E$ 都只有一个交点包含三种情况：
情形1 $l_{1},l_{2}$ 均与椭圆相切；情形2 $l_{1},l_{2}$ 中一条过点 $A_{1}$ 或 $A_{2}$ 另外一条与椭圆相切，这两种图形对应的 $h$ 相同；情形3 $l_{1},l_{2}$ 中一条过点 $A1$ 另外一条过点 $A_{1}$ 另外一条过点 $A_{2}$．设 $l_{1}:y=kx+h$（$k>0$），则由 $l_{1}\perp l_{2}$ 知，$l_{2}:y=-\dfrac{1}{k}x+h$，$l_{1}$ 与椭圆相切等价于 $1+2k^{2}=h^{2}$；$l_{2}$ 与椭圆相切等价于 $1+2\cdot \dfrac{1}{k^{2}}=h^{2}$．情形1 直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 都与椭圆相切时 $h=\sqrt 3$；情形2 直线 $l_{1}(l_{2})$ 过点 $A_{1}(-\sqrt 2,0)$，而 $l_{2}(l_{1})$ 与椭圆相切时 $h=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}}$．情形3 直线 $l_{1}$ 过点 $A_{1}(-\sqrt 2,0)$，而直线 $l_{2}$ 过点 $A_{2}(\sqrt 2,0)$ 时 $h=\sqrt 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
