椭圆方程为 $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$，$A,B$ 为长轴端点，$M$ 为直线 $x=2$ 上任意一点，连接 $AM$ 交椭圆于 $P$ 点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OM}$ 为定值；标注答案略解析设 $M(2,m)$，$P(x,y)$，则\[k_{AP}\cdot k_{BP}=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}.\]于是 $\dfrac{y}{x-2}\cdot \dfrac{m}{4}=-\dfrac{1}{2}$，整理有 $my+2x=4$．而\[\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OM}=my+2x=4\]为定值．所以原命题成立．
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是否存在 $x$ 轴上的定点 $Q$ 使得以 $MP$ 为直径的圆恒通过 $MQ$ 与 $BP$ 的交点．标注答案存在 $x$ 轴上的定点 $Q(0,0)$解析设 $M(2,m)$，$P(x,y)$，$Q(n,0)$ 则由以 $MP$ 为直径的圆通过 $MQ$ 与 $BP$ 的交点有 $\overrightarrow{MQ}\cdot \overrightarrow{BP}=0$，所以\[(n-2,-m)\cdot (x-2,y)=nx-2n-2x+4-my=0,\]而\[k_{AP}\cdot k_{BP}=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2},\]于是\[\dfrac{y}{x-2}\cdot \dfrac{m}{4}=-\dfrac{1}{2},\]整理有 $my+2x=4$，所以有\[n(x-2)=0,\]解得 $n=0$．
因此存在 $x$ 轴上的定点 $Q(0,0)$，使得以 $MP$ 为直径的圆恒通过 $MQ$ 与 $BP$ 的交点．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
