在椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$ 上，是否存在点 $M(m,n)$，使得直线 $l:mx+ny=1$ 与圆 $O:x^{2}+y^{2}=1$ 相交于不同的两点 $A,B$，且 $\triangle OAB$ 的面积最大？若存在，求出点 $M$ 的坐标及相应的 $\triangle OAB$ 的面积；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
面积存在最大值，为 $\dfrac{1}{2}$，此时点 $M$ 为 $\left(\dfrac{\sqrt 6}{2},\pm\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$，$\left(-\dfrac{\sqrt 6}{2},\pm\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$
【解析】
$O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\dfrac{1}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$，于是\[S_{\triangle AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-\dfrac{1}{m^{2}+n^{2}}}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{m^{2}+n^{2}}}\leqslant \dfrac{1}{2},\]当且仅当 $\dfrac{1}{m^{2}+n^{2}}=\dfrac{1}{2}$ 时取得等号．又\[\dfrac{m^{2}}{3}+n^{2}=1,\]解得 $m^{2}=\dfrac{3}{2}$，$n^{2}=\dfrac{1}{2}$．因此满足条件的 $M$ 为 $\left(\dfrac{\sqrt 6}{2},\pm\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$，$\left(-\dfrac{\sqrt 6}{2},\pm\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$．
答案
解析
备注
