过椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 的左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $\triangle AOB$ 的面积为 $\dfrac{6\sqrt 2}{7}$，求圆心在原点 $O$ 且与直线 $l$ 相切的圆的方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{2}$
【解析】
设直线 $AB:x=my-1$，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$ 则联立直线与椭圆，有 $3(my-1)^{2}+4y^{2}-12=0$，即\[(3m^{2}+4)y^{2}-6my-9=0,\]所以\[S_{\triangle AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot |OF_{1}|\cdot |y_{1}-y_{2}|=\dfrac{6\sqrt{m^{2}+1}}{3m^{2}+4}=\dfrac{6\sqrt 2}{7}.\]解得 $m^{2}=1$，于是所求圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{1+m^{2}}$，即 $x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{2}$．
答案
解析
备注
