设函数 $f(x)={\rm e}^x-x$，$g(x)=-kx^3+kx^2-x+1$．若使得对任意 $x\in [0,1]$ 均有 $f(x)\geqslant g(x)$ 成立的 $k$ 的最大值为 $\lambda$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-1,\]于是当 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得极小值，亦为最小值 $f(0)=1$．
题意等价于\[\forall x\in (0,1),k\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2-x^3}.\]记右侧函数为 $\varphi(x)$，于是 $\lambda $ 为 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上的下确界．
一方面，有\[\lambda\leqslant \varphi\left(\dfrac 12\right)=8\left(\sqrt{\rm e}-1\right)<5.2.\]另一方面，考虑证明在 $x\in (0,1)$ 上，有 $\varphi(x)>5$，即\[\forall x\in (0,1),{\rm e}^x\geqslant 5x^2-5x^3+1.\]事实上，容易证明\[\forall x\in (0,1),{\rm e}^x>1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3,\]因此只需要证明\[\forall x\in (0,1),1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3\geqslant 5x^2-5x^3+1,\]也即\[\forall x\in (0,1),x\left(31x^2-27x+6\right)\geqslant 0,\]而右侧二次函数部分的判别式 $\Delta=-15<0$，因此不等式成立．这就证明了 $\lambda>5$．
综上所述，原命题得证．
题意等价于\[\forall x\in (0,1),k\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2-x^3}.\]记右侧函数为 $\varphi(x)$，于是 $\lambda $ 为 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上的下确界．
一方面，有\[\lambda\leqslant \varphi\left(\dfrac 12\right)=8\left(\sqrt{\rm e}-1\right)<5.2.\]另一方面，考虑证明在 $x\in (0,1)$ 上，有 $\varphi(x)>5$，即\[\forall x\in (0,1),{\rm e}^x\geqslant 5x^2-5x^3+1.\]事实上，容易证明\[\forall x\in (0,1),{\rm e}^x>1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3,\]因此只需要证明\[\forall x\in (0,1),1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3\geqslant 5x^2-5x^3+1,\]也即\[\forall x\in (0,1),x\left(31x^2-27x+6\right)\geqslant 0,\]而右侧二次函数部分的判别式 $\Delta=-15<0$，因此不等式成立．这就证明了 $\lambda>5$．
综上所述，原命题得证．
题目
答案
解析
备注
