如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P\left(1,\dfrac{1}{2}\right)$ 到抛物线 $C:y^{2}=2px(p>0)$ 的准线的距离为 $\dfrac{5}{4}$．点 $M(t,1)$ 是 $C$ 上的两定点，且线段 $AB$ 被直线 $OM$ 平分．
【难度】
【出处】
2012年高考浙江卷（文）
【标注】
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求 $p,t$ 的值；标注答案$p=\dfrac{1}{2}$，$t=1$解析略
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求 $\triangle ABP$ 面积的最大值．标注答案$\dfrac{\sqrt 6}{9}$解析由第 $(1)$ 小题可知，$M(1,1)$，$C:y^{2}=x$．设线段 $AB$ 的中点为 $T(t,t)$，直线 $AB:x-t=m(y-t)$，则联立直线与抛物线方程，有\[y^{2}-my+(m-1)t=0,\]于是 $t=\dfrac{m}{2}$，\[|y_{A}-y_{B}=\sqrt{m^{2}-4(m-1)t}=\sqrt{2m-m^{2}},\]因此 $\triangle APB$ 的面积为\[\dfrac{1}{2}\left|y_{A}-y_{B}\right|\cdot \left|x_{P}-\left[m\left(\dfrac{1}{2}-t\right)+t\right]\right|=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2m-m^{2}}\cdot \left|1-m+\dfrac{m^{2}}{2}\right|,\]设 $\sqrt{2m-m^{2}}=s$，则 $s^{2}=1-(m-1)^{2}\in(0,1]$．\[S_{\triangle APB}=\dfrac{1}{2}\cdot s\cdot \left|1-\dfrac{s^{2}}{2}\right|=\dfrac{1}{4}\cdot \sqrt{\dfrac{(2-s^{2})(2-s^{2})\cdot 2s^{2}}{2}}\leqslant \dfrac{1}{4}\cdot \sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt 6}{9},\]当且仅当 $s^{2}=\dfrac{2}{3}$ 时取得等号．因此 $\triangle ABP$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 6}{9}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
