已知椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}:y^{2}=4x$ 有公共焦点，直线 $l$ 为过点 $M(4,0)$ 的动直线．若坐标原点 $O$ 关于直线 $l$ 的对称点 $P$ 在抛物线 $C_{2}$ 上，直线 $l$ 与椭圆 $C_{1}$ 有公共点，求椭圆 $C_{1}$ 的长轴长的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt{34}$
【解析】
设 $P(4t^{2},4t)$，则 $OP$ 的中点坐标为 $(2t^{2},2t)$，于是 $k_{OP}=\dfrac{4t}{4t^{2}}=\dfrac{1}{t}$，直线 $l$ 为\[y-2t=-t(x-2t^{2}),\]点 $M(4,0)$ 在直线 $l$ 上．因此\[-2t=-t(4-2t^{2}),\]解得 $t=0$（舍去）或 $t=\pm 1$．于是直线 $l:x\pm y-4=0$．设椭圆 $C_{1}:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b>0)$，则\[a^{2}+b^{2}\geqslant 16,\]而 $a^{2}-b^{2}=1$，因此 $2a^{2}\geqslant 17$，$2a\geqslant \sqrt{34}$．所以椭圆 $C_{1}$ 的长轴长的最小值为 $\sqrt{34}$．
答案
解析
备注
