已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的左、右顶点分别为 $A,B$．过点 $A$ 斜率为 $\dfrac{1}{4}$ 的直线交椭圆于点 $S$，在椭圆 $C $ 上是否存在这样的点 $T$，使得 $\triangle TSB$ 的面积为 $\dfrac{1}{5}$？若存在，确定点 $T$ 的个数；若不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$ 个
【解析】
直线 $AS:y=\dfrac{1}{4}(x+2)$，与椭圆联立，有 $S\left(\dfrac{6}{5},\dfrac{4}{5}\right)$．于是\[|SB|=\dfrac{4\sqrt 2}{5},k_{SB}=-1.\]而 $\triangle TSB$ 的面积为 $\dfrac{1}{5}$，意味着 $T$ 到直线 $SB$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt 2}{4}$．直线 $SB:x+y-2=0$，设直线 $l:x+y+m=0$ 是椭圆的切线，则 $m=\pm \sqrt 5$．因为\[-\sqrt 5<2-\dfrac{1}{2}<\sqrt 5,\]所以在 $SB$ 下方有两个满足条件的点 $T$；因为\[2+\dfrac{1}{2}>\sqrt 5,\]所以在 $SB$ 上方没有满足条件的点 $T$．于是点 $T$ 的个数为 $2$．
答案
解析
备注
