已知中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，且经过点 $\left(-1,\dfrac{3}{2}\right)$，过点 $P(2,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 在第一象限相切于点 $M$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$解析略
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求直线 $l$ 的方程以及点 $M$ 的坐标．标注答案直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1$，点 $M$ 坐标为 $\left(1,\dfrac{3}{2}\right)$解析过点 $P(2,1)$ 的直线 $l$ 设为 $y=k(x-2)+1$，即\[kx-y+(1-2k)=0.\]由 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 相切，有\[4k^{2}+3=(1-2k)^{2},\]解得 $k=-\dfrac{1}{2}$．所以 $l$ 的方程为 $y=-\dfrac{1}{2}x+2$．
将直线方程化为 $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1$，与切线方程 $\dfrac{x_{0}x}{4}+\dfrac{y_{0}y}{3}=1$ 比较，得切点 $M$ 坐标为 $\left(1,\dfrac{3}{2}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
