在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到点 $F(3,0)$ 的距离的 $4$ 倍与它到直线 $x=2$ 的距离的 $3$ 倍之和记为 $d$，当点 $P$ 运动时，$d$ 恒等于点 $P$ 的横坐标与 $18$ 之和．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求点 $P$ 的轨迹 $C$；标注答案当 $x<2$ 时，$C_{1}:y^{2}=12x$；当 $x\geqslant 2$ 时；当 $x\geqslant 2$ 时，$\dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{27}=1$解析设 $P(x,y)$，则
① 当 $x<2$ 时，$4|PF|+3(2-x)=18+x$，即 $|PF|=X-(-3)$，所以其轨迹是以焦点为 $F$，准线为 $x=-3$ 的抛物线，方程为 $C_{1}:y^{2}=12x$；
② 当 $x\geqslant 2$ 时，$4|PF|+3(x-2)=18+x$，即 $|PF|=\dfrac{12-x}{2}$，即 $\dfrac{|PF|}{12-x}=\dfrac{1}{2}$，所以其轨迹为焦点为 $F$，准线为 $x=12$ 的椭圆，方程为 $C_{2}:\dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{27}=1$． -
设过点 $F$ 的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 相交于 $M,N$ 两点，求线段 $MN$ 长度的最大值．标注答案$\dfrac{100}{11}$解析$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于点 $(2,2\sqrt 6)$，设 $T(2,-2\sqrt 6)$，直线 $MN$ 的斜率为 $k$，则 $k_{FT}=2\sqrt 6$．考虑到对称性，不妨设 $k\geqslant 0$．
① $k\in\left[0,2\sqrt 6\right]$，由焦半径公式，显然 $MN$ 随着 $k$ 的增大而增大；
② $k\in\left[2\sqrt 6,+\infty\right)$ 时，由焦半径公式，显然 $MN$ 随着 $k$ 的增大而减小．
于是当 $k=2\sqrt 6$ 时，线段 $MN$ 的长度取得最大值．此时直线的倾斜角 $\alpha$ 满足 $\tan\alpha=2\sqrt 6$，所以 $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{24}}{5}$，因此由焦点弦长公式，$|MN|=\dfrac{100}{11}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
