在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的一点，从原点 $O$ 到圆 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$ 作两条切线分别与椭圆 $C$ 交于点 $P,Q$，直线 $OP,OQ$ 的斜率分别记为 $k_1,k_2$，求证：$k_1\cdot k_2=-\dfrac {b^2}{a^2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设切线方程为 $y=kx$，则圆心 $(x_0,y_0)$ 到切线的距离$$d=\dfrac{\left|kx_0-y_0\right|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}},$$平方化简可得\[\left[\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)x_0^2-1\right]k^2-2\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)x_0y_0k+\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)y_0^2-1,\]又因为 $(x_0,y_0)$ 满足 $\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1$，由韦达定理得\[k_1\cdot k_2=\dfrac{\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)y_0^2-1}{\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)x_0^2-1}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(b^2-\dfrac{b^2}{a^2}x_0^2\right)-1}{\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)x_0^2-1}=-\dfrac {b^2}{a^2}.\]
答案
解析
备注
