题目 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于直线 $l:ax + by + c = 0$ 和点 ${P_1}\left({{x_1},{y_1}}\right)$，${P_2}\left({{x_2},{y_2}}\right)$，记$$\eta = \left({a{x_1}+ b{y_1}+ c}\right)\left({a{x_2}+ b{y_2}+ c}\right).$$若 $\eta < 0$，则称点 ${P_1}$，${P_2}$ 被直线 $l$ 分隔．若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 ${P_1}$，${P_2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线． 问题1 求证：点 $A\left({1,2}\right)$，$B\left({- 1,0}\right)$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分隔； 答案1 略 解析1 此时 $\eta=2\cdot (-2)=-4<0$，根据分隔的定义，命题成立． 备注1 问题2 若直线 $y = kx$ 是曲线 ${x^2}- 4{y^2}= 1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围； 答案2 $\left(-\infty ,-\dfrac 12\right]\cup\left[\dfrac 12,+\infty \right)$ 解析2 联立直线 $y=kx$ 与双曲线 $x^2-4y^2=1$ 的方程，可得$$(1-4k^2)x^2-1=0,$$因此当且仅当 $k^2\geqslant \dfrac 14$ 时曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点．此时取 $P_1(1,0)$，$P_2(-1,0)$，则显然点 $P_1,P_2$ 被直线 $l$ 分隔．因此实数 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty ,-\dfrac 12\right]\cup\left[\dfrac 12,+\infty \right)$． 备注2 问题3 动点 $M$ 到点 $Q\left({0,2}\right)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 $1$，设点 $M$ 的轨迹为 $E$，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$ 的分割线． 答案3 直线 $x=0$ 为 $E$ 的分割线 解析3 设动点 $M(x,y)$，则根据题意有$$\sqrt{x^2+(y-2)^2}\cdot |x|=1,$$因此点 $M$ 的轨迹为 $E:x^4+x^2(y-2)^2=1$．<br/>考虑直线 $x=0$，显然该直线与曲线 $E$ 没有公共点，且点 $(1,2)$ 和点 $(-1,2)$ 被该直线分隔，因此直线 $x=0$ 为 $E$ 的分割线．<br/>接下来证明直线 $y=kx$（$k\in\mathbb R$）不是 $E$ 的分割线．<br/>联立直线 $y=kx$ 与曲线 $E$ 的方程，得$$x^4+x^2(kx-2)^2=1,$$令 $f(x)=x^4+x^2(kx-2)^2-1$，则$$f(0)\cdot f(1)=-(k-2)^2\leqslant 0,$$因此函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上必然有零点，也即直线 $y=kx$ 与曲线 $E$ 必然有公共点，从而直线 $y=kx$（$k\in\mathbb R$）不是 $E$ 的分割线．<br/>综上所述，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$ 的分割线． 备注3 文科第22题需要先确定轨迹 $E$ 的方程，并指明了唯一的分割线是 $y$ 轴．