双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>0) $ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，直线 $l$ 过 $F_2$ 且与双曲线交于 $A,B$ 两点．
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（文）
【标注】
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若 $l$ 的倾斜角为 $\dfrac{\pi}{2} $，$\triangle{F_1AB}$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；标注答案$y=\pm \sqrt{2}x $解析根据题意，通径 $|AB|=2b^2$ 与焦距 $|F_1F_2|=2c$ 的比为 $2:\sqrt 3$，即 $\dfrac{b^2}{c}=\dfrac{2}{\sqrt 3}$，从而解得 $b^2=2$，进而双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{2}x $．
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设 $b=\sqrt{3} $，若 $l$ 的斜率存在，且 $|AB|=4$，求 $l$ 的斜率．标注答案$\pm \dfrac{\sqrt{15}}5$解析当 $b=\sqrt{3}$ 时，双曲线的方程为 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$，其焦距 $|F_1F_2|=4$．
设 $P$ 为双曲线右支上一点，则 $|PF_1|=|PF_2|+2$，在 $\triangle PF_2F_1$ 中应用余弦定理有$$|PF_1|^2=|F_1F_2|^2+|PF_2|^2-2\cdot |PF_2|\cdot |F_1F_2|\cdot \cos\angle PF_2F_1,$$代入数据整理得$$|PF_2|=\dfrac{3}{2\cos\angle PF_2F_1+1}.$$类似地，当 $P$ 为双曲线左支上一点时，有$$|PF_2|=\dfrac{3}{2\cos\angle PF_2F_1-1}.$$因此设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则$$|AB|=\left|\dfrac{3}{2\cos\theta+1}+\dfrac{3}{-2\cos\theta+1}\right|=\dfrac{6}{\left|4\cos^2\theta-1\right|}=4,$$整理得 $\cos\theta=\pm \sqrt{\dfrac 58}$，因此直线 $l$ 的斜率为 $\tan\theta=\pm \dfrac{\sqrt{15}}5$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
