双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>0) $ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，直线 $l$ 过 $F_2$ 且与双曲线交于 $A,B$ 两点．
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（理）
【标注】
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若 $l$ 的倾斜角为 $\dfrac{\pi}{2} $，$\triangle{F_1AB}$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；标注答案$y=\pm \sqrt{2}x $解析根据题意，通径 $|AB|=2b^2$ 与焦距 $|F_1F_2|=2c$ 的比为 $2:\sqrt 3$，即 $\dfrac{b^2}{c}=\dfrac{2}{\sqrt 3}$，从而解得 $b^2=2$，进而双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{2}x $．
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设 $b=\sqrt{3} $，若 $l$ 的斜率存在，且 $\left(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B} \right)\cdot\overrightarrow{AB}=0 $，求 $l$ 的斜率．标注答案$\pm \dfrac{\sqrt{15} }{5} $解析此时双曲线方程为 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$，$F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$．如图，由题意，$A,B$ 两点分别位于双曲线的两支上，且 $\left|AF_1\right|=\left|BF_1\right|$，设线段 $AB$ 的中点为 $M$．该双曲线的左准线为 $l_1:x=-\dfrac{1}{2}$，由于 $A,B$ 两点分别位于左准线 $l_1$ 的左右两边，且到 $l_1$ 的距离相等，故点 $M$ 落在 $l_1$ 上．设点 $M$ 坐标为 $\left(-\dfrac{1}{2},m\right) $，则$$\overrightarrow{F_1M}\cdot\overrightarrow{F_2M}=\left(\dfrac{3}{2},m \right)\cdot\left(-\dfrac{5}{2},m \right)=m^2-\dfrac{15}{4}= 0, $$解得 $m=\pm \dfrac{\sqrt{15} }{2}$，所以直线 $l$ 的斜率为 $\pm \dfrac{\sqrt{15} }{5} $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
